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课程大纲介绍
复数
复变函数
初等函数
级数
求积分
留数
利用留数求积分
Fourier傅里叶变换
Laplace拉普拉斯变换
映射(选学)
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学习笔记整理
#复数及其运算
##复数的加减乘除
复数的基础知识相信大家在高中数学里已经学过了,需要注意的是复数的乘法和除法计算比较困难,大家可以多留心记一下。
##求复数的实部与虚部
这道题的复合函数求解较难,大家可以留意一下。
##求某复数的共轭复数
求一个复数的共轭复数,只需要将他的虚部的符号变一下(原来是正号,就变成负号,原来是负号,就变成正号),就行了。
##求模,辐角和辐角主值
这些公式中arg:argumentofacomplexnumber(复数的辐角)
###求模,辐角和辐角主值的例题
辐角主值的求法比较困难,需要在坐标上分别标出Re和Im的值,然后将他们对应的那个点与原点连接起来,所呈现出来的直线与Re轴正方向所成的夹角,就是辐角主值。
特别提醒,辐角主值的取值范围是-180°到180°
###又一道例题
##复数的开方
大家千万要注意,复数的开方与高中时实数的开方不一样,16开四次方不等于2,而需要用到专门的复数开方公式。在计算完成之后,记得加上K=0,1,2,3,……n-1;千万千万要记得,不是n,不是n,不是n,重要的事情说三遍。
##代数式,三角式,指数式转换。
重点知识整理
第一章:复数与复变函数
所谓复变函数,就是自变量为复数的函数。
研究主要对象是某种意义下可导的复变函数,称为解析函数。
知识点层次为:复数->复变函数->复变函数性质->初等解析函数及性质
复数代数式:z=x+iy
复数三角式:z=r(cosθ+isinθ)
欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ
指数式:z=reiθ
主值 :θ=argz=arctan(y/x)
棣莫弗公式:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
解析函数
复变函数可导的条件:实部虚部两个二元函数可微,实部与虚部通过C-R条件联系起来。
若函数f(z)在z0某一领域处处可导,称f(z)在z0处解析。
若f(z)在区域E内每一点解析,称f(z)是E内的一个解析函数。
f在E内解析的充要条件是,u、v在E内任一点可微,且满足C-R条件。
第二章 复变函数和积分
复变函数积分
柯西积分
解析函数与调和函数的关系
线积分与路径无关等价于该函数沿单连域中任何闭曲线的积分为零。
柯西积分定理:单连域内解析积分为零。
如果函数f(z)在单连域E内解析,那么积分 只与起点与终点有关,与连接点和终点的路径无关。
由于复变函数的积分为沿着有向曲线的积分,可以通过二元函数关于坐标的曲线积分式来获得。
若已知曲线的参数方程,则复变函数可以化为定积分计算,这时只要将被积函数f(z)的变量z换为z(t)=x(t)+iy(t),将dz换为 z'(t)dt即可。
对于解析函数的积分,由于积分与路径无关,可以通过与牛顿莱布尼兹公式相同来计算。
至于计算沿封闭路线的积分,往往以柯西积分定理、复合闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式为工具。
满足拉普拉斯方程,且具有二阶连续偏导的函数称为调和函数。
任何一个在区域E上解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其实部与虚部都是该区域上的调和函数。
如果u(x,y)是区域E内的调和函数,则存在一个v(x,y)使u+iv在E内解析。
第三章 级数
一个函数的解析性与该函数能否级数展开是等价的。
罗朗级数
对于一般复数列的讨论可以归结为对两个实数列的讨论。
对于一般复数项级数的讨论可以归结为对实数项级数的讨论。
复变函数项级数:f1(z)+f2(z)+....+fn(z)+...
幂级数是一种特殊复变函数项级数。以cn(z-z0)n为一般项。
幂级数与解析函数有密切关系:
幂级数在一定区域内收敛于一个解析函数
一个解析函数在其解析点的领域内能展开成幂级数。
阿贝尔定理 收敛圆和收敛半径
达朗贝尔公式
柯西公式
在收敛圆内,幂级数和和函数是解析函数。即,任何一个收敛半径大于零的幂级数在其收敛圆内代表一个解析函数。
泰勒定理 能展成幂级数
f(z)在区域E内解析的充要条件是 f(z) 在E内任一点z0的领域内可以马尔代展成(z-z0)的幂级数,即泰勒级数。
如果z=z0是f(z)的奇点,那么在奇点的领域内就不能展开成泰勒级数。
罗朗级数
第四章 留数理论
孤立奇点的分类和性质
留数的求法
用留数定理计算实函数积分和无穷限广义积分
如果f(z)在 z0点去心领域内解析,而z0点不解析,称z0为f(z)的孤立奇点。
如果f(z)在z0点的主要部分全部等于零,称z0为f(z)的可去奇点
如果f(z)在z0点的主要部分只有有限项m, 称z0为f(z)的m级极点。
如果f(z)在z0点的主要部分有无穷多项,称z0为f(z)的本性奇点。
可去奇点判定 如果z0为f(z)的孤立奇点,下列三个条件是等价的:
f(z)在z0点的主要部分为零。
limf(z)存在。
f(z) 在点z0的某去心领域有界
m级极点的判定 如果z0为f(z)的孤立奇点,下列三个条件等价:
f(z)在z0点的主要部分为
f(z)在点z0的某去心领域内能表示成
g(z)=1/f(z)以z0 为m级零点
留数定理 把沿封闭曲线积分的整体问题,化为计算其各孤立奇点处留数的局部问题。
留数求法
可去奇点:若z0为f(z)的可去,面积分Res{f(z),z0}=0.
极点:
本性奇点:通过罗朗展开式来求留数。
第五章 保角映射
映射的旋转角不变性 解析函数的导数幅角的几何意义。
映射的保角性 映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的特性。
伸缩率的不变性 当z0取定后,伸缩率|f'(z0)|是确定的,从而与过点z0的曲线C的选择无关。
保角映射 设w=f(z)在z0的领域内有定义,若映射 w=f(z)在点z0 有保角性(大小、方向不变)和伸缩率不变性,称映射w在点z0是保角的,或w=f(z)在z0处是保角映射。
若 w=f(z)在区域E内解析,则它在E内导数不为零的点处是保角的。
上述保角映射不仅保持曲线夹角的大小不变而且夹角的方向不变。仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射称为第二类保角映射。
分式线性映射
任何一个分式线性映射可由两种典型的映射复合而成。
分式线性映射在扩充的复平面上是一一对应的,具有保圆性的保角映射。
这里的保圆性是指:在分式线性映射下,将圆周(直线)映射成圆周(直线)。
也就是说,如果给定的圆周或直线上没有点映射或者无穷远点,那么它就映射成半径为有限的圆周,如果有一点映射成无穷远点,那么它就映射成直线。
分式线性映射除了保圆性之外,还有保对称性。
三种重要的分式线性映射:上半平面映射上半平面,上半平面映射单位圆域,单位圆域映射成单位圆域。
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